Hakekat Kebenaran Matematika

Hakekat Kebenaran Matematika

 

Matematika, jika dilihat dengan benar, bukan saja mengandung kebenaran namun juga keindahan yang utama; suatu keindahan yang dingin dan sederhana, seperti keindahan seni pahat, tanpa memancing reaksi dari hakekat manusia yang lemah, tanpa jeratan yang memukau seperti lukisan atau musik namun demikian murni, dan mampu memperlihatkan kesempurnaan yang tinggi, seperti juga karya-karya seni yang agung.
 

Hakekat matematika dapat didekati dari metode pembuktiannya, bidang yang ditelaahnya, dan bahasa yang dipakainya. Pengetahuan mengenai ketiga hal tersebut merupakan langkah pertama dalam melihat sumber kekuatan matematika. Bilangan dan bentuk geometris, dan berbagai hubungan yang didasarkan pada abstraksi ini dalam bentuk rumus-rumus merupakan esensi dari sejumlah situasi fisik.

Pengetahuan yang didapat dengan jalan abstraksi merupakan pengetahuan yang lebih rneyakinkan dibandingkan dengan pengetahuan yang diperoleh dari suatu kejadian tertentu, seperti juga kesimpulan yang ditarik semua orang adalah lebih rneyakinkan bila dibandingkan dengan kesimpulan yang didapat seorang tertentu. Pembuktian deduktif yang dapat diandalkan merupakan sumber kekuatan kedua dari matematika.

Kesimpulan yang diambil orang Yunani dahulu kala yang merupakan konsekuensi logis dari aksioma-aksioma tertentu masih tetap berlaku sampai sekarang dan sampai kapan pun juga.

Kekuatan matematika juga terletak dalam segi lain. Ahli matematika merupakan seorang pemikir profesional yang memberikan seluruh hidupnya dalam mempelajari apa yang telah dicapai dalam bidangnya dan memperluas bidang tersebut dengan pengetahuan baru. Semua hasil yang dicapai oleh generasi yang satu diwariskan kepada generasi selanjutnya dan generasi inipun kembali memperluasnya dengan berpangkal pada warisan tersebut. Tiap generasi memperkaya struktur matematika dengan penemuan-penemuan baru.

Agar bisa menghargai hakekat matematika modern secara mendalam maka kita hurus melihat perkembanganannya yang terakhir. Matematika pada tahun 1600 terdiri dari aljabar, geometri Euclid dan permulaan trigonometri, Dalam abad ketujuh belas, kebutuhan terhadap matematika dalam mempelajari garis lengkung, yang berupa jalan yang ditempuh cahaya melalui lensa, trayek tembakan meriam, perjalanan kapal selam, atau orbit planet-planet, menyebabkan Rene Desrartcs dan Pierre de Ferulal menciptakan metode aljabar mengenai garis lengkung, sehingga aljabar kemudian dapat dipakai dalam mendeduksikan sifat-sifat garis lengkung tersebit. Ciptaan ini dinamakan geometri koordinat atau geometri analitis.

Kebutuhan untuk menghitung berbagai kecepatan, gaya, tekanan dan berbagai sifat lainnya dari benda-benda langit, serta masalah lain seperti navigasi dan tembakan meriam, dapat dilakukan dengan ditcmukanya konsep baru tentang limit, dan suatu cara baru yang disebut difercnsial. Kedua konsep ini merupakan pokok dari kalkulus diferensial. Untuk mempcroleh suatu jumlah total dari serangkaian obyek yang jumlahnya tak terbatas, umpamanya jumlah gaya gravitasi  dari tiap bagian bumi terhadap suatu massa,  maka kalkulus integral diciptakan.

Kalkulus merupakan permulaan dari serangkaian cabang rnatematika baru yang biasanya disebut analitik. Persamaan diferensilal, deret tak terhingga, geometri diferensial, kalkulus variasi, fungsi dan variabel yang kompleks, analisa vektor dan analisa tensor merupakan contoh dari analisa tersebut. Ruang lingkup aljabar juga kemudian diperluas dengan berbagai abstraksi seperti bilangan kompleks, vector, "hyponumber", matriks, gugus abstrak dan teori tentang struktur aljabar yang dikenal sebagai aljabar abstrak, geometri proyektif, geometri non-Euclid, aljabar geometri dan topologi.

Penemuan non-Euclid telah menyebabkan matematika turun dari termpat pcmujaan ini. Secara historis, geometri non-Euclid merupakan hasil dari usaha untuk mendapatkan versi yang lebih sederhana dari aksioma Euclid tentang garis sejajar, di mana dikemukakan sebuah postulat bahwa lewat titik dalam sebuah bidang maka hanya dapat ditarik satu dan hanya satun garis sejajar dengan sebuah garis tertcntu. Dalam usaha penjelajahan ini, ahli matematika dengan sengaja mengambil aksioma yang bertentangan dengan aksioma Euclid, lalu dengan menggunakan aksioma yang baru ini bersama aksioma-aksioma Euclid lainnya, mereka mendeduksikan teorema-teorema. Mereka berharap akan membentuk suatu geometri baru yang tidak konsisten, di mana akan mereka temukan teorema-teorema yang bertentangan satu sama lain, sebab teorema-teorema tersebut dimulai dengan aksioma, yang menurut pikiran mereka, adalah mengingkari kebenaran. Ternyata kontradiksi seperti ini tidak terjadi.

Ahli matematika yang terkemuka dalam abad kesembilan belas, Karl Ficdrich Gauss, adalah orang yang pertama melihat kemungkinan hal ini. Ia menyadari bahwa geometri Euclid tak lagi dapat dianggap sebagai satu- satunya geometri untuk ruang karena geometri yang non-Euclid mungkin juga dapat dipergunakan. Namun usaha Gauss untuk menguji secara eksperimental mana dari kedua geometri Euclid dan non-Euclid ini yang lebih cocok untuk dunia fisik ternyata menemui kegagalan.

Keadaan ini bertambah tidak tentu ketika Bernhard Riemann menciptakan geometri non-Euclid. Kemungkinan penerapan dari semua geometri non-Euclid bcrtambah luas ketika ahli matematika menyadari, bahwa banyak gejala alam yang sesungguhnya tidaklah seperti apa yang dibayangkan dimana jarak adalah garis lurus yang direntang dengan mempergunakan benang atau kayu pcnggaris, melainkan mengikuti garis cahaya. Karena garis cahaya ini biasanya bukan merupakan garis lurus, maka geomciri yang cocok umuk kcadaan sepcrti ini kemungkinan besar termasuk salah sana dari jenis geometri non-Euclid. Ahli matcmatika pada akhirnya harus mengakui bahwa tidak terdapat alasan umuk mempercayai bahwa kebenaran hanya merupakan milik dari salah satu geometri ini. Ketika teori relalivitas mempcrgunakan geometri non-Euclid dalam pembuktiannya maka hal ini merupakan bukti yang tak terbantahkan lagi.
 

Bcberapa ahli matematika kemudian mencari perlindungan pada matematika yang bcrdasarkan sistem bilangan dan mempertahankan bahwa setidaknya inilah yang memberikan kebenaran. Walaupun begilu pernyataan ini pun tak dapat dipertahankan, karena sekarang kita melihat dengan jelas bahwa meskipun ilmu hitung yang biasa kita pakai adalah cocok untuk situasi hidup kita, namun masih terdapat ilmu-ilmu hitung lainnya dengan aljabar mercka masing-masing yang cocok untuk situasi yang lain. Untuk menyebutkan contoh yang sederhana, maka alternatif ilmu hitung yang lain dan cocok dengan situasi yang nyata, adalah cara menyatakan bahwa empat jam setelah pukul sembilan adalah pukul satu dan bukan pukul tiga belas.
 

Suatu penjelasan ingin disampaikan bagi mereka yang bukan ahli matematika, yang mungkin berpendapat bahwa ketidak sempurnaan ilmu hitung dan gcometri adalah sia-sia, atau menyangka bahwa apa yang dikatakan terdahulu mengenai kebenaran proses matematis sekarang tidak berlaku lagi. "Dua tambah dua adalah empat" masih merupakan deduksi yang syah dari aksioma ilmu hitung, seperti juga teorema geometri Euclid adalah deduksi yang syah dari  aksioma  Euclid.  Walaupun  begitu,  kesimpulan    ilmu  hitung  dan geometri  hanya  dapat  diterapkan      kepada  pengalaman-pengalaman  yang menurut kita aksiomanya adalah cocok.
 

Kenyataan yang mengejutkan bahwa matematika, yang sebelumnya dianggap sebagai suatu jangkar kebenaran dan sebagai sebuah bukti bahwa manusia dapat mencari kebenaran, kemudian beralih menjadi sesuatu yang merupakan akibat langsung dari anggapan manusia tentang dunia fisik pada abad kescmbilan belas. Ahli matematika percaya bahwa asumsi atau aksioma dan dengan demikian konsekuensi logisnya- adalah kebenaran. Sekarang disadari bahwa aksioma merupakan kesimpulan yang dibuat manusia berdasarkan pengalaman indera yang terbatas dan hanya merupakan perkiraan dari dunia fisik yang sesungguhnya. Sebenarnya istilah aksioma harus kita artikan sekarang sebagai asumsi dan bukan sebagai kebenaran yang pasti. Kita terus mempergunakan istilah aksioma dan kesimpulan, meskipun mereka bukan merupakan kebenaran, karena mereka mampu memberikan pengetahuan yang sangat berguna tentang dunia fisik, bahkan pengetahuan yang terbaik yang pernah dipunyai manusia.

Anehnya, meskipun kebenaran yang merupakan milik matematika yang sangat berharga telah diambil, namun matematika justru tidak kehilangan dan malah bertambah kaya. Aksioma yang semula dikira mengingkari kebenaran ternyata telah membawa kita kepada geometri yang sangat berguna. Pengalaman itu merupakan titik tolak bagi eksplorasi selanjutnya dari berbagai sistem aksioma tanpa memperhatikan betapapun kecilnya kemungkinan penerapannya. Matematika, yang semula dibelenggu oleh dunia fisik, melepaskan belenggu perbudakan ini dan menghirup atmosfir kebebasan.

Kiranya tak diragukan lagi nilai positif dari kebebasan yang diperoleh matematika, di mana dari imajinasi matematis yang tidak terkungkung ini telah dihasilkan, dan masih akan dihasilkan, berbagai sistem pemikiran yang mungkin jauh lebih berguna dalam mengkaji dan menguasai dunia fisik, daripada memusatkan perhatian kita hanya kepada sistem tentang bilangan dan geometri Euclid. Dan ketika Einstein ingin mengetahui struktur suatu geometri non-Euclid yang menyangkut dimensi keempat maka pcngetahuan tersebut telah tersedia.

Dengan jalan mempelajari perkembangan matematika yang terbaru kita akan melihat terjadinya perubahan dalam hakekat matematika. Konsep yang mula-mula mengenai bilangan, pecahan dan beberapa bentuk geo-metris jelas didasarkan kepada pengalaman manusia secara langsung. Matematika kemudian mengembangkan dan menerapkan berbagai konsep abstrak seperti bilangan irrasional, bilangan negatif, dan bilangan kompleks. Mula-mula kita tidak mengerti dan tidak menyadari kegunaan konsep abstrak ini, oleh sebab itu bahkan ahli-ahli matematika yang terkemuka mula-mula menentang dimasukkannya konsep itu ke dalam matematika. Setelah berabad-abad kita mempergunakan bilangan dan bentuk geometris yang didasarkan kepada gejala fisik yang dialami manusia secara langsung, maka ahli matematika secara implisit dan tak sadar menyimpulkan bahwa konsep yang dikembangkan oleh mereka adalah "nyata". Pengakuan terhadap jenis-jenis bilangan yang baru ini merupakan langkah yang penting di mana matematika telah meninggalkan konsep yang mendasarkan diri kepada pengalaman manusia secara langsung. Ahli matematika sejak itu mengerti dengan lebih dalam akan makna dari matematika sebagai suatu kegiatan berpikir manusia, dan sekarang mereka berpendapat bahwa asalkan suatu konsep itu jelas dan kaya, maka konsep tersebut harus dijelajahi lebih lanjut tanpa memperhatikan apakah konsep itu mempunyai dasar fisik atau tidak.

 

 

Model Matematis

 

Ilmu-ilmu sosial dapat ditandai oleh kenyataan bahwa kebanyakan dari masalah yang dihadapinya tidak mempunyai pengukuran yang memper- gunakan bilangan dan pengertian tentang ruang adalah sama sekali tidak relevan. Kita akan mencoba untuk meneropong hal ini di mana akan kita lihat kemungkinan mempergunakan model matematis yang cocok dengan karakteristik masalah ilmu-ilmu sosial.
 

Marilah kita lihat mengapa seorang ilmuwan mempergunakan model matematis. Pertama, karena bahasa matematika merupakan suatu cara yang mudah dalam meformulasikan hipotesa keilmuan. Cara ini memaksa ahli teori dalam berbagai ilmu untuk memformulasikan hipotesisnya dalam bentuk yang persis dan jelas. Juga hal ini akan memaksa dia untuk menanggalkan dari masalah keilmuannya segenap perincian yang tidak penting. Sekali model itu diformulasikan dalam suatu bentuk yang abstrak maka dia merupakan cabang dari matemalika. Jika ilmuwan itu beruntung, cabang matematika ini telah dipelajari  oleh  ahli-ahli  matematika  yang  terdahulu,  dan  teorema  yang

dikembangkan dalam bidang ini telah tersedia untuk dapat digunakan sebagai dasar ramalan. Karena aksioma dari sistem matematika, jika diinterpretasikan, merupakan teori keilmuan, dan juga di sini, teorema, jika diinterpretasikan dengan cara yang sama. merupakan konsekuensi logis dari teori keilmuan tersebut.
 

Seperti sering dikatakan, teorema matematis tidak menambah apa pun terhadap hipotesis dari mana dia dideduksikan. Sesungguhnya, jika sebuah teorema menambahkan sesuatu kepada isi hipotesis, maka teorema ini tidak diturunkan secara logis dari hipotesis, dan dalam hal ini maka teorema tersebut bukan merupakan cabang dari matemarika. Walaupun begitu, teorema-teorema tersebut, meskipun bukan sesuatu yang baru dalam hal ini, mungkin secara psikologis merupakan sesuatu yang baru bagi ilmuwan, dan memang sering sekali hal ini terjadi demtkian.
 

Jika seorang ahli matematika berkata kepada ilmuwan, "Tahukah bahwa asumsi Anda berakibat ini dan itu?" Kiranya sering terjadi bahwa hal ini merupakan "kejutan" yang menyenangkan (atau mungkin tidak menyenangkani bagi si ilmuwan. Di sini ahli matematika telah men-jembatani jurang antara asumsi yang asli dengan ramalan yang dapat diuji kebenarannya. Dia telah memungkinkan si ilmuwan untuk menguji hipo-tesisnya, dan sering memungkinkan dia untuk membuat ramalan penting yang pragmatis tentang hari depan.
 

Tetapi kadang-kadang bisa terjadi bahwa model matematis yang dibuat oleh si ilmuwan tidak mempunyai kaitan dengan cabang-cabang mate- matika yang telah diketahui- Dalam hal ini maka si ilmuwan harus men- ciptakan cabang matematika yang baru atau minta tolong kepada ahli matematika untuk mengerjakan hal itu. Umpamanya, ketika Newton me- rumuskan hukum tentang gerak, dia menemukan bahwa tak terdapat cabang matematika yang dapat dipakai untuk modelnya. Dia harus ber-paling kepada metode kalkulus yang dia dptakan sendtri. Ahli ilmu sosial dewasa ini sering menemukan bahwa ahli matematika tidak mampu mem-beri dia jalan dalam menghadapi masalah tentang model matematis yang dia inginkan, Banyak ahli matematika yang mempunyai kesan bahwa masalah matematis dalam ilmu- ilmu sosial adalah seluruhnya bersifat remch. Hal ini tidak benar, bahkan sebaliknya, kebanyakan masalah dalam ilmu-ilmu sosial terlampau sukar bagi matematika dewasa ini. Karena masalah yang timbul dalam ilmu-ilmu social secara cepat makin bertambah sukar maka hanya beberapa masalah matematis yang termudah saja yang telah dapat dipecahkan sejauh ini.
 

Terdapat alasan yang cukup untuk  mengharapkan bahwa berbagai ilmu-ilmu sosial akan merupakan perangsang bagi pengembangan cabang-ca- bang matematika yang baru, dan suatu hari, ahli teori ilmu-ilmu sosial harus mengetahui matematika lebih banyak daripada apa yang harus diketahui ahli fisika sekarang.
 

Pada dasarnya terdapat dua jalan yang berbeda untuk sam pa i pada model matemaiis di mana tidak dipergunakan bilangan atau ruang. Cara yang pertama adalah dengan jalan mempergunakan cabang matematika yang memang tidak mempergunakan bilangan atau ruang. Cara yang ke-dua adalah memakai bilangan yang kita tetapkan secara kurang lebih be-gitu saja pada masalah di mana faktor bilangan itu tak terdapat. Dengan cara ini maka kita mungkin akan dapat menyusun model bilangan dari model yang bukan bilangan. Contoh-contoh dari kedua cara ini akan di-terangkan secara terperinci.
 

Contoh yang akan didiskusikan ini akan mempergunakan meiode yang diarnbil baik dari aljabar modern maupun geometri modern. Untuk mem- berikan contoh yang maksimal, maka satu model aljabar dan satu model geometris akan didiskusikan untuk memperoleh cara dalam memecahkan masalah tanpa bilangan.

 

Model No. 1
 

Model kita yang pertama akan mempergunakan teori graphik, yang merupakan cabang dari geometri modern, tetapi dapat dikatakan tak ada hubungannya dengan studi tentang ruang. Jadi di sini kita akan membicarakan sebuah contoh geometris di mana masalah yang dihadapi, untuk memulai pembahasan kita, adalah non-bilangan dan non-spatial, dan demikian juga model yang dipergunakan. Masalah yang akan kita lihat adalah keseimbangan struktural dalam suatu kelompok social.
 

Kita akan mempelajari sebuah kelompok sosial dengan informasi tertcntu mengenai perasaan suka dan tidak suka di antara pasangan manusia. Sebuah graphik adalah suatu bahasa matematis yang mudah di mana kita dapat mengemukakan struktur semacam itu. Sebuah graphik didefinisikan sebagai sekumpulan titik dengan garis-garis yang menghubungkan beberapa pasang titik meskipun tidak perlu semuanya titik ini dihubungkan satu sama lain. Kita akan memakai tanda panah pada beberapa garis tersebut yang menunjukkan arah, dimana dalam hal ini kita sebut graphik yang berarah. Kita juga akan mempergunakan tanda plus dan minus pada beberapa garis ini yang kita sebut graphik yang bertanda. Jika individu A dan B digambarkan dengan dua titik, maka sebuah panah dari A ke B dengan sebuah tanda plus berarti bahwa A menyukai B, dan panah dengan tanda minus berani A membenci B. Jika tak terdapat panah dari A ke B maka A adalah tidak mempunyai perasaan apa-apa (netral) terhadap B (lihat gambar).

 

Dalam masalah yang sedang diselidiki kita tertarik kepada kondisi- kondisi di mana suatu kelompok sosial berada dalam suatu "keseimbangan." Jika A menyukai B tetapi B tidak menyukai A, maka terdapat suatu keadaan yang kurang scimbang. Kondisi yang pertama bagi keseimbangan adalah bahwa hubungan B terhadap A harus sama dengan hubungan A terhadap B. Oleh sebab itu kita tidak perlu mempergunakan graphik yang berarah di mana graphik yang bertanda sudah memenuhi syarat. Graphik ini, yang tidak memiliki tanda panah di ujung garis, adalah sesuai untuk hubungan yang bersifat simetris.

 

Gambar 2 menggambarkan graphik bertanda yang mungkin dibuat bagi tiga orang di mana tak seorang pun bersifat netral satu terhadap yang lain. Pada (a), di mana setiap orang menyukai setiap orang lainnya, kelompok sosial adalah seimbang. Pada (b), di mana individu B menyukai kedua indi- vidu lainnya, tetapi kedua individu ini saling tidak menyukai satu sama lain, terdapatlah suatu situasi yang tidak seimbang. Pada (c), A dan B menyukai satu sama lain dan masing-masing tidak mcnyukai individu ketiga. Ini merupakan suatu situasi yang tidak seimbang. Graphik (d) menunjukkan suatu situasi di mana seiiap orang tidak menyukai yang lainnya. Ini mungkin dapat dipertimbangkan scbagai tidak seimbang, karena mungkin terjadi tekanan- tekanan yang kuat terhadap sepasang individu untuk membentuk suatu koalisi terhadap individu ketiga. Dari graphik itu terlihat bahwa graphik dengan jumlah tanda minus yang genap adalah seimbang dan graphik dengan jumlah tanda minus yang ganjil adalah tidak seimbang.
 

Carrwright dan Harary meneliti kepustakaan untuk mencari contoh- contoh di mana ahli ilmu-ilmu sosial telah menetapkan kelompok sosial mana "yang seimbang" dan mana "yang tidak seimbang." Mereka melihat bahwa semua situasi tersebut memenuhi suatu definisi sebagai berikut: bahwa jika kita mengambil sebuah siklus dalam suatu graphik yang merupakan serangkaian langkah-langkah dimulai dari A dan berakhir pada A, kita dapat mendefinisikan suatu graphik bertanda sebagai seimbang jika setiap siklus di dalamnya mempunyai tanda-tanda minus yang semuanya berjumlah genap.
 

Karena definisi ini mencakup semua contoh yang mereka temukan da- lam kepustakaan, dan oleh sebab itu merupakan suatu definisi yang lengkap mengenai struktur sosial yang seimbang, maka mereka mengajukan definisi ini sebagai definisi umum tentang keseimbangan struktural dalam suatu kelompok sosial. Tentu saja tinggallah bagi para ahli ilmu sosial untuk memutuskan apakah persyaratan ini merupakan suatu definisi umum yang memuaskan. Biarlah untuk saat ini kita menganggapnya demikian.
 

Sekarang kita memiliki suatu model matematis bagi keseimbangan struktural dalam suatu kelompok sosial. Karena kita memiliki peralatan teori graphik yang tersedia bagi kita, marilah kita cari suatu teorema teori graphik yang akan membawa kita kepada suatu kesimpulan yang menarik mengenai kelompok sosial tersebut. Sebagai contoh dapat dikemukakan teorema struktur bagi graphik bertanda. Teorema ini dapat dinyatakan sebagai berikut: suatu graphik bertanda adalah seimbang jika dan hanya jika semua titik dapat dibagi dalam dua gugus menjadi sedemikian rupa sehingga semua hubungan positif terjadi antara titik-titik dalam gugus yang sama dan semua hubungan- hubungan negatif terjadi antara titik-titik dari gugs yang berbeda.
 

Teorema ini mempunyai suatu penerapan yang amat menarik dalam ilmu politik. Umpamakan bahwa kita memiliki suatu institusi politik di mana anggotanya satu sama lain saling menyukai, tidak menyukai atau netral. Atau, jika kita  suka,  kita  dapat  mengganti  kata  menyukai dengan  "kemampuan untuk seirama secara politis." Katakanlah bahwa "adalah mungkin untuk membentuk suatu struktur dengan dua partai" pada institusi politik tersebut, jika terdapat suatu metode yang dapat membagi anggota institusi politik tersebut menjadi dua partai sedemikian rupa. sehingga setiap anggota hanya menyukai anggota-anggota dari partainya sendiri dan tidak menyukai anggota- anggota dari partai yang lain, atau dengan penafsiran yang lain: bahwa jika tiap anggota seirama secara politis dengan rekan-rekan separtainya dan tidak seirama dengan anggota-anggota partai yang lain.  Maka teorema struktur mengemukakan bahwa suatu institusi politik adalah seimbang jika, dan hanya jika, adalah mungkin untuk membentuk suatu struktur dua partai di dalamnya.

Hasil ini, yang mungkin mengejutkan para ahli ilmu pengetahuan so- sial, merupakan suatu contoh yang baik tentang sumbangan ahli matematika murni yang memberikan suatu dalil yang berguna.

 

Model No. 2
 

Model kedua mempergunakan teori gugus, suatu cabang dari aljabar modern di mana angka tidak memainkan peranan sama sekali. Secara spesifik kita akan memakai gugus transformasi. Suatu gugus transformasi mungkin dapat dicirikan sebagai berikut: kita mempunyai suatu gugus obyek S dan suatu kumpulan perubahan G tertentu terhadap S. Artinya bahwa setiap unsur dari G dapat dipergunakan untuk mengubah suatu obyek dari S menjadi beberapa obyek S yang lain atau obyek yang sama. Untuk transformasi G ini dalam membentuk suatu kelompok maka dua persyaratan harus dipenuhi. Pertama, perubahan harus merupakan suatu pasangan: untuk setiap transformasi g1 harus terdapat suatu transformasi g2, sehingga g2 selalu tidak mengerjakan apa yang dikerjakan oleh g1 , dan sebaliknya. Artinya bahwa jika g1 mengubah suatu obyek s menjadi suatu obyek t, maka g2 harus mengubah obyek t menjadi obyek s. Syarat kedua adalah bahwa hasil pelaksanaan dua transformasi, harus merupakan transformasi di dalam G. Jadi jika g1 mengubah s menjadi t, dan g2 mengubah t menjadi u, maka g3 akan mengubah s langsung menjadi u. Hal ini hanya merupakan cara berpikir yang memudahkan kita dengan me-masukkan "transformasi gabungan" g3 dalam kumpulan G.
 

Pembaca akan mendapatkan hakekat yang sangat umum dari konsep transformasi. Terdapat suatu kepustakaan yang luas tentang kelompok transformasi dan terdapat jumlah besar teorema yang dapat dipergunakan untuk kelompok yang mempunyai sifat-sifat tertentu.
 

Aturan perkawinan dalam masyarakat primitif telah dipelajari ditinjau dari pandangan matematis oleh Andre Weil dan Robert R. Bush. Aturan perkawinan dalam masyarakat primitif tertentu dirancang untuk mencegah perkawinan di antara kerabat-kerabat dekat, bahkan bila kerabat-kerabat ini tidak sadar pada hubungan kekerabatan mereka. Hal ini perlu dalam suatu masyarakat di mana tidak terdapat catatan kekerabatan yang teratur dan di mana ikatan-ikatan keluarga dengan segera terlupakan. Aturan dasar adalah bahwa setiap orang di dalam masyarakat itu diberikan suatu "tipe perkawinan" tertentu di mana seorang laki-laki hanya boleh mengawini seorang perempuan yang merupakan lipenya sendiri. Ber-dasarkan tipe orang tuanya maka tiap anak lelaki diberikan tipe tertentu dan demikian pula anak perempuannya.
 

Kita segera melihat bahwa perkawinan antara laki-laki dengan saudaranya perempuan secara otomatis adalah terlarang karena seorang anak laki-laki dari suatu perkawinan tertentu selalu menunjukkan suatu corak yang berbeda dari saudara perempuannya.
 

Gugus dasar dari obyek kita adalah gugus tipe perkawinan. Transformasi dalam hal ini akan merupakan aturan untuk meneiitukan tipe kerabat seseorang berdasarkan pengetahuan tentang tipe orang tersebut. Ka- rena kerabat dari seorang kerabat adalah pula kerabat maka hasil penerapan dua transformasi akan kembali merupakan transformasi. Lebih lanjut, jika terdapat suatu transformasi yang mengubah tipe paman menjadi tipe kemenakan laki-lakinya, juga harus terdapat suatu transformasi yang mengubah tipe kemenakan laki-laki menjadi tipe pamannya, dan di sini kedua persyaratan telah dipenuhi untuk mendapatkan suatu kelompok transformasi.

Di antara persyaratan-persyaratan lainnya mengenai tipe perkawinan, dua persyaratan yang paling penting belum disebutkan yakni bahwa: "Beberapa dari turunan dua individu diperbolehkan untuk melakukan perkawinan keluarga", dan "Aturan mengenai apakah seorang laki-laki di- perbolehkan mengawini seorang kerabat perempuan tertentu hanya tergantung dari hubungan kekerabatan itu." Yang pertama menjamin bahwa masyarakat tidak terpisah menjadi kasta-kasta tertentu, dan yang kedua menjamin tidak adanya diskriminasi terhadap suatu tipe perkawinan tertentu.

Sekarang kita mempunyai suatu model matematik bagi aturan per- kawinan dalam masyarakat primitif, dan kita dapat mempelajari kepustakaan matematik untuk mencari teorema yang cocok untuk diterapkan pada masalah ini. Kesimpulan utama adalah bahwa kelompok perkawinan haruslah merupakan suatu kelompok permutasi yang teratur yang diturunkan dari transformasi orang tua-anak lelaki dan transformasi orang tua-anak perempuan. Karena kelompok permutasi yang teratur ini secara relatif adalah jarang maka teorema ini memungkinkan kita untuk menemukan dengan mudah semua aturan perkawinan yang mungkin dari se-jumlah tipe perkawinan tertentu. Umpamanya terlihat bahwa hanya terdapat enam gugus aturan yang mungkin untuk suatu masyarakat yang mempunyai empat tipe perkawinan. Kiranya menarik untuk dicatat bahwa dua dari aturan tersebut dipakai oleh masyarakat Tarau dan Kariera.

Sebagai contoh, di dalam masyarakat Kariera, transformasi orang tua- anak laki-laki mempertukarkan tipe 1, 2 dan 3, 4, sedangkan transformasi orang tua-anak perempuan membalikkan urutan tipe tersebut (lihat tabel). Jika kita mempunyai orang tua dari tipe 2, anak lelakinya akan mempunyai tipe 4, dan anak-anak perempuannya akan mempunyai tipe 1. Seorang anak perempuan dari orang tua tipe 2 akan mempunyai tipe 3 dan anak-anak lelakinya dari perempuan ini akan mempunyai tipe 1. Di sini seorang anak laki-laki dari anak perempuan yang mempunyai orang tua yang sama diperbolehkan mengawini seorang anak perempuan dari anak laki-laki dari orang tua yang sama tersebut. Hal ini tetap berlaku apa pun juga tipe kakek- kakeknya.

 

TIPE PERKAWINAN DALAM MASYARAKAT KARIERA

 

Orang tua	Anak laki-laki	Anak perempuan
1	3	4
2	4	3
3	1	2
4	2	1

 

Model tersebut juga mcngemukakan pertanyaan tambahan yang mungkin tidak dipikirkan oleh kita dalam suatu formulasi masalah yang tidak terlalu eksak seperti model di atas. Sebagai contoh, kedua masyarakat yang disebutkan terdahulu memperbolehkan perkawinan antara sepupu pertama tertentu namun melarang perkawinan antara sepupu pertama yang lainnya. Adalah masuk akal untuk menambah pembatasan lainnya bahwa "semua" perkawinan sepupu pertama adalah terlarang. Di sini kita dapat membuktikan bahwa hal ini hanya dapat dipenuhi, jika dan hanya jika, transformasi orang tua-anak laki-laki dan orang tua-anak perempuan tak boleh bertukar dan pangkat dua dari tipe mereka tidak boleh sama. Syarat tambahan ini menyebabkan berkurangnya kelompok aturan perkawinan yang mungkin menjadi kurang dari enam. Di pihak lain, seperti dinyata-kan terdahulu, terdapat enam aturan yang mungkin untuk suatu masyarakat yang mempunyai empat tipe perkawinan. Oleh sebab itu kita temui bahwa masyarakat Kariera dan  Tarau  tak  mungkin  untuk  menghilangkan  semua  perkawinan  sepupu pertama jika mereka ingin menggunakan empat tipe perkawinan tersebut.

Contoh ini secara historis adalah sangat menarik. Adalah sangat mengesankan bahwa suatu masyarakat yang tidak mempunyai catatan yang teratur, melalui cara mencoba-coba, telah dapat memecahkan sualu masalah yang memerlukan operasi maiematik yang cukup rumit bila dianalisa secara formal.

Kita baru saja membahas model di mana bilangan tidak digunakan tak ada masalah geometris yang timbul. Sekarang kita akan membahas model lainnya di mana konsep bilangan atau geometri akan dipergunakan: Model no. 3 akan bersifat numerik (bilangan} dan Model no. 4 akan bersifat geometris.

 

 

Model No. 3
 

Marilah kita perhatikan suatu jaringan komunikasi. Dengan jaringan komunikasi kita maksudkan adatah suatu gugus manusia yang mempunyai cara tertentu dalam mengirimkan pesan dari seorang individu kepada individu lainnya. Untuk setiap pasangan manusia i dan j adalah mungkin untuk mengirim suatu berita dari i ke j, dan dari j ke i, dalam kedua arah, atau tidak dalam satu arah pun. Mula-mula tampak kepada kita bahwa tak ada gunanya mempergunakan bilangan dalam keadaan seperti ini. Walaupun begitu sebuah model numerik sederhana untuk jaringan komunikasi ternyata ada gunanya.

Kita mempergunakan suatu susunan persegi angka-angka yang dikenal sebagai suatu matriks, yang memiliki baris dan lajur sebanyak manusia dalam jaringan kita. Sebutlah matriks ini C dan besaran dalam baris ke-i dan lajur ke- j, adalah Ci,j; Ci,j diberi angka 1 kalau suatu berita dapat dikirimkan langsung dari i ke j; kalau hal ini tidak mungkin maka Ci,j = 0. Secara khusus, kita menetapkan bahwa Ci,i = 0, yang semata-mata adalah suatu perjanjian. (Artinya sesuai dengan definisi, seseorang tidak dapat mengirim berita kepada dirinya sendiri).

Kiranya tampak dengan segera bahwa matriks akan memberikan ke- pada kita semua informasi yang tersedia mengenai jaringan komunikasi tersebut. Walaupun begitu, masih terdapat sejumlah metode yang bisa memberikan informasi ini dengan sama baiknya. Lalu adakah kelebihan dalam mempergunakan bilangan? Penggunaan bilangan adalah berguna jika dilakukan  berbagai  operasi  ilmu  hitung.  Sebagai  contoh,  matriks-matriks dapat diperkalikan; khususnya, kita dapat mengalikan matriks C dengan matriks itu sendiri. Berdasarkan perkalian matriks ini kita akan mendapatkan bahwa besaran dalam baris ke i dan lajur ke j dari matriks yang baru akan memberikan kepada kita cara-cara yang berbeda di mana i dapat mengirim berita kepada j dalam dua langkah.

Dalam Gambar 3 kita melukiskan sebuah matriks komunikasi C untuk suatu jaringan dari empat orang di mana 1 dapat berkomunikasi langsung dengan 2, 2 dapat berkomunikasi langsung dengan ketiga lainnya. 3 dapat berkomunikasi langsung dengan 4, dan 4 dapat berkomunikasi langsung dengan 1 dan 3. Kita juga melukiskan dalam gambar yang sama C1, yang menunjukkan sejumlah cara di mana seseorang dapat berkomunikasi dengan orang lainnya dalam dua langkah. Umpamanya, 2 dapat berkomunikasi dengan setiap orang dalam dua langkah hanya dalam satu cara.

 

Kegunaan dari suatu model seperti di atas dapat dilihat dari teorema yang dapat diturunkannya. Suatu teorema yang menarik adalah menyangkut suatu jaringan komunikasi yang lengkap. Dengan ini kita maksudkan bahwa bagi setiap pasangan orang i dan j, adalah mungkin untuk mengirim suatu berita baik dari i ke j maupun dari j ke i, atau dalam kedua arah.

Dalam suatu jaringan komunikasi lengkap demikian terdapat suatu penafsiran sederhana terhadap jumlah angka 1 yang paling banyak dalam suatu baris tertentu. Sebagai contoh, dalam Gambar 3 (yang menunjukkan suatu jaringan lengkap) orang 2 memiliki jumlah angka 1 dalam baris yang terbesar yakni 3. Dapat dibuktikan bahwa orang yang memiliki angka 1 yang paling besar dalam barisnya dapat berkomunikasi dengan tiap orang dalam jaringan tersebut dengan satu atau dua langkah. Tentu saja, dalam Gambar 3 orang 2 sebenarnya dapat mengerjakan hal ini hanya dalam satu langkah.

Sistem ini memiliki suatu ciri matematik yang menarik yang dikenal sebagai sistem ganda -yakni, bahwa dengan jalan menukar baris dan lajur kita akan mengubah suatu matriks dari bentuk "dapat mengirim pesan kepada" menjadi matriks "dapat menerima berita dari". Teorema di atas juga dapat diterapkan pad a matriks ganda, di mana kita mengetahui bahwa jika jumlah lajur seseorang adalah maksimum maka hal ini berarti bahwa orang tersebut dapat menerima berita dari tiap-tiap orang dalam jaringan dengan satu atau dua langkah. Dalam contoh kita, lajur 1, 3 dan 4 semua memiliki jumlah lajur maksimal 2, dan oleh sebab itu keciga orang ini dapat dicapai oleh orang dalam satu atau dua langkah.

Hasil-hasil ini memang tidak mengejutkan bila hanya terdapat empat orang dalam jaringan kita; tetapi bila kita mempelajari suatu jaringan kompleks yang terdiri dari 100 orang, maka hal ini akan sungguh-sungguh berguna. Umpamanya, seorang ahli efisiensi yang mempelajari suatu per- usahaan besar mungkin mcmakai sualu matriks komunikasi sebagai  cara iinmk melukiskan sistem komunikasi atau label organisasi dari perusahaan tersebut. Bila dia merasa bahwa perusahaan tersebut harus membentuk suatu jaringan komunikasi lengkap, dengan segera ia dapat mencari poros komando dari mana instruksi-instruksi dapat diberikan dalam salu atau dua langkah kepada setiap pekerja. Dan bahkan jika jaringan itu tidak lengkap, matriks komunikasi yang kita pelajari lebih lanjut akan mem-berikan infbrmasi- informasi yang berguna.

Contoh ini menggambarkan dalam pengerdan yang amat sederhana bagaimana metode yang mempergunakan bilangan dapat dipergunakan dalam suatu masalah di mana pada mulanya tampak seakan-akan bilangan tak dapat ditcrapkan. Dalam mode! terakhir akan kita tunjukkan bagaimana metode- metode geometris kadang-kadang dapat dipergunakan dalam suatu masalah yang rnula-mula tampak sama sekali tidak bersifat geometris.

 

Model No. 4
 

Masalah yang kita hadapi berkenaan dengan graph (urutan prioritas) dari suatu gugus obyek tertentu. Andaikan bahwa sepuluh ahli masing-masing diminta uniuk membuat graph dari suatu gugus terdiri dari 50 obyek. Untuk memberikan kebebasan yang maksimum, kita memperbolehkan adanya seri (berada dalam tingkat  yang sama) dalam graph. Bagaimana caranya  kita sampai   pada   sebuah   konsensus   mengenai   graph"?   

Bagaimana   kita mengerjakan hal ini? Masalah ini dapat di-jadikan suatu masalah yang serupa dengan masalah klasik dalam statistik andaikan kita dapat mengintroduksikan suatu ukuran jarak antara graph. Dengan demikian maka masalah yang kita hadapi adalah bagaimana caranya untuk mengambil gugus semua graph yang mungkin dari 50 obyek tersebut dan mengubah mereka menjadi ruang geo- metris setelah jarak antara dua graph tertentu ditetapkan. Di sini saja akan mengikhtisarkan hasil-hasil penelitian dalam masalah ini yang sampai karangan ini ditulis belum dipublikasikan.

Marilah kita menyepakati dulu beberapa notasi yang akan diperguna- kan. Pertama-tama klta mempunyai sejumlah obyek yang harus diurut. Kita akan menyatakan graph dengan huruf besar, A, B, C, dan seterusnya. Umpamanya jika kita mempunyai tiga obyek dalam pikiran kita yakni a, b, dan c, maka A mungkin merupakan graph di mana b adalah pcrtama, a adalah kedua, dan c adalah ketiga; dan B mungkin merupakan graph lainnya di mana c adalah pertama dan a dan b keduanya menempati tempat kedua. Kita ingin mengintroduksikan ukuran jarak di antara A dan B, yang akan dinyatakan oleh d (A, B).

Marilah kita menyepakati syarat-syarat tertentu yang harus dipenuhi oleh definisi tersebut.

a.  Syarat 1,

d harus memenuhi syarat-syarat bagi suatu jarak yang diletakkan oleh sebuah geometri sebagai berikut:

(1)   d (A, B) > 0 jika dan hanya jika, A dan B merupakan graph yang sama.

(2) d (A, B) = d (B, A)

(3) d (A, B) + d (B, C) > d (A, C) jika dan hanya jika, graph B berada di antara A dan C.

Untuk bagian terakhir dari syarat 1, kita memerlukan suatu defmisi mengenai "perantara". Kita akan mendefinisikan bahwa graph B adalah di antara A dan C, jika untuk tiap pasang obyek i dan j, pilihan B berada di antara pilihan A dan C. Dengan kata lain, untuk pasangan tertentu maka pilihan B adalah sama dengan A atau sama dengan C, atau bila A menyukai i, C menyukai j, maka B menyatakan bahwa mereka adalah seri. Selanjutnya kita harus menjamin bahwa ukuran jarak kita tidak boleh tcrgantung kepada obyek-obyek yang telah kita pilih untuk graph kita.

b.  Syarat 2,

Definisi jarak d tidak boleh dipengaruhi oleh suatu simbol baru dari gugus obyek akan diberi graph. Ini berarti, umpamanya, bahwa jika A memilih obyek dalam urutan a, b, c, dan B dalam urutan c, b, a, maka jarak antara dua graph ini harus sama dengan jarak antara graph b, c, a, dan a, c, b, karena yang kedua diperoleh dari yang pertama dengan rnengubah a ke b, b ke c, dan c ke a.

c.  Syarat 3,

Jika kedua graph adalah sesuai dari tahap permulaan sampai akhir kecuali mengenai graph obyek k yang berada di tengah-tengah, maka jarak antara kedua graph ini adalah sama dengan sebuah jarak di mana seakan-akan hanya obyek k tersebut yang sedang dinilai. Syarat ini kiranya tak memerlukan penjelasan lagi. Syarat terakhir kita pada hakekatnya adalah suatu perjanjian. Perjanjian ini dapat dianggap sebagai suatu unit pengukuran.

d.  Syarat 4,

Jarak positif minimum adalah 1.

 

Anggaplah bahwa kita telah sepakat bahwa keempat pokok di atas me- rupakan persyaratan bagi definisi jarak antara graph. Dalam hal ini kita telah menerjemahkan masalah yang kita hadapi menjadi suatu masalah matematika murni. Kita dapat menanyakan kepada seorang ahli matematika mengenai tiga hal: (1) Apakah terdapat jarak yang memenuhi semua persyaratan ini? Atau dengan kata lain, apakah persyaratan kita konsisten? (2) Bagaimana kita dapat menunjukkan semua definisi yang memenuhi empat syarat tersebut? (3) Asumsi tambahan apakah yang harus kita buat untuk mempersempit pilihan dari beberapa jarak menjadi satu?

Dalam hal ini kita dihadapkan dengan suatu kejutan yang menyenangkan, di mana kita temukan bahwa syarat-syarat kita ternyata betul- betul konsisten, dan bahwa ada satu dan hanya satu definisi yang mungkin mengenai jarak yang akan memenuhi semua persyaratan ini. Oleh sebab itu jika kita telah sepakat pada empat syarat di alas, kita harus sepakat bahwa ini merupakan satu-satunya definisi yang benar mengenai jarak.

Jarak yang dihasilkan dapat dideskripsikan sebagai berikut. Bandingkan graph A dan B untuk tiap pasangan individu i dan j. Jika kedua graph itu sama maka kita tuliskan 0. Jika seorang lebih menyukai i daripada j dan yang lainnya lebih menyukai j daripada i maka kita tuliskan 2. Dan jika seorang menyatakan suatu preferensi (lebih menyukai sesuatu) sedangkan yang lainnya memberikan graph yang sama maka kita tuliskan 1. Setelah mempunyai angka untuk pasangan i dan j maka d (A, B) adalah sama dengan jumlah dari bilangan-bilangan ini.

Setelah kita menuliskan definisi di atas, maka kita mungkin berpikir bahwa inilah jalan yang dapat dipertanggung jawabkan dalam mengukur jarak antara graph. Walaupun begitu, kalau ada definisi lain yang juga tnasuk akal dikemukakan, maka kita tak mempunyai cara yang rasional untuk memilih salah satu di antara keduanya. Dengan prosedur kita yang sekarang maka argumentasi telah direduksikan menjadi empat syarat seperti telah dikemukakan di atas. Siapa yang menerima empat syarat ini harus menerima definisi kita mengenai jarak d. Namun siapa yang menolaknya maka dia harus menjelaskan secara specifik mana dari syarat-syarat kita yang ditolaknya, dan dia harus mengemukakan syarat-syaratnya sendiri yang masuk akal yang akan membawa kita pada suatu pilihan unik mengenai fungsi jarak.

 

Jika sekarang kila meminta kepada sejumlah ahli untuk menentukan graph dari tiga obyek tersebut, maka kita dapat menggunakan Gambar 4 dalam menemukan konsensus. Graph yang merupakan konsensus ini mungkin dapat didefinisikan sebagai graph yang mempunyai jumlah minimum dari jarak yang diberikan olth tiap-tiap ahli. Kadang-kadang juga memudahkan kita untuk mengambil definisi lain umpamanya bahwa jumlah dari jarak pangkat dualah yang minimum. Hal ini berarti bahwa kalau kita mempunyai tiga orang ahli, di mana dua di antaranya menyodorkan urutan a, b, c dan yang lain b, a, c, maka metode yang berdasar jumlah jarak minimum akan menetapkan a, b, c, sebagai konsensus, sedangkan metode berdasarkan jumlah pangkat dua dari jarak akan menetapkan bahwaa dan b seri sedangkan c terletak pada urutan ketiga. Pada pihak lain, bila terdapat ketidaksepakatan, umpamanya, ahli yang pertama memberi urutan a, b, c; yang kedua b, c, a; dan yang ketiga c, a, b, maka metode berdasarkan jumlah pangkat dua jarak tersebut akan memberikan konsensus bahwa ketiga-tiganya adalah seri. Metode berdasarkan jumlah minimum jarak ini juga akan memberikan tiga graph konsensus yang mungkin, yakni tiga graph yang diberikan oleh tiap ahli secara individual.

 

Keempat model yang telah dibahas di atas menggambarkan kepada kita berbagai cara di mana matematika mungkin berguna dalam memecahkan masalah tanpa bilangan dan ruang dalam ilmu-ilmu sosial. Model-model tersebut menggambarkan bagaimana aljabar dan geometri modern mem- berikan teknik-teknik baru untuk bidang ini, dan menunjukkan bahwa teknik- teknik ini mungkin diterapkan dalam situasi di mana bilangan dan ruang tidak pernah dipergunakan, atau di mana bilangan dan ruang telah dipergunakan berdasarkan kctentuan yang ditetapkan secara begitu saja.

Suatu hal yang penting secara khusus digambarkan dalam model keempat. Sering kali ahli-ahli ilmu sosial mungkin sepakat tentang persyaratan-persyaratan bagi pemecahan suatu masalah tertemu, meskipun mungkin mereka tidak sepakat dalam pemecahan yang sesungguhnya. Dalam kasus demikian mereka harus bcrkonsultasi dengan seorang ahli matematika. la mungkin akan menunjukkan bahwa adalah tidak mungkin untuk memenuhi semua persyaratan yang telah ditentukan, dan dalam hal ini, para ahli ilmu sosial harus cukup puas dengan persyaratan-persyaratan yang dikurangi. Atau, ahli matematika ilu akan mengemukakan bahwa terdapat cara yang tidak

terbatas jumlahnya dalam memecahkan masalah tersebut, dan memberikan mereka beberapa saran untuk menambah bebe-rapa persyaratan untuk dapat memecahkannya. Akhirnya, dalam suatu situasi ideal seperti yang digambarkan dalam Model no, 4, ia mungkin da-pat membuktikan bahwa terdapat suatu pemecahan yang unik terhadap masalah yang dihadapi. Dalam hal ini ia akan mampu memecahkan masalah itu, yang sampai saat itu ternyata belum terpecahkan, dan memberikan alat yang berguna bagi para ahli ilmu sosial dalam melakukan kegiatan selanjutnya.

 

 

Matematika Sebagai Raja Sekaligus Pelayan Ilmu

 

Dalam komunikasi pemikiran keilmuan, matematika memainkan dua peranan, yakni sebagai raja dan pelayan ilmu. Sebagai raja, matematika merupakan bentuk logika paling tinggi yang pernah diciptakan oleh pemikiran manusia. Logika ini dilukiskan dalam bentuk sistem sim-bulis dari kegiatan pemikiran serta struktur yang teratur dari teori bilang-an dan ruang. Sebagai pelayan, matematika menyediakan bagi ilmu-ilmu yang lainnya, bukan saja sistem logikanya tetapi juga model matematis dari berbagai segi kegiatan keilmuan. Model ini menyusun sebuah iso-morfisme antara matematika dengan unsur, dan hubungan antarunsur, dalam bidang di mana matematika itu diterapkan. Matematika dari model inilah yang dipergunakan untuk mengkomunikasikan hukum keilmuan dan hipotesis. Demikian juga hal ini berguna dalam penyelidikan keilmuan untuk menemukan pengetahuan baru. Dapat disimpulkan bahwa matematika adalah alat utama dalam komunikasi pemikiran keilmuan.

Beberapa sifat yang penting memungkinkan matematika memegang peranan yang sangat penting dalam proses kegiatan keilmuan. Sifat-sifat itu adalah sebagai berikut:

(1)    Matematika berhubungan dengan pernyataan yang berupa dalil dan konsekuensinya di mana pengujian kebenaran secara maternatis akan da- pat diterima oleh tiap orang yang rasional.

(2)   Matematika tidak tergantung kepada perubahan ruang dan waktu.

(3)   Matematika bersifat eksak dalam semua yang dikerjakannya meskipun dia mempergunakan data yang tidak eksak (merupakan perkiraan).
(4)    Matematika adalah logika deduktif, yang mengubah pengalaman in-dera menjadi bentuk-bentuk yang diskriminatif, kemudian bentuk ini di-ubah menjadi abstraksi, dan abstraksi kemudian berubah menjadi generalisasi. Generalisasi ini tidak tergantung kepada sifat-sifat fisik se-hingga obyek- obyek yang dimaksud tetap merupakan ujud pemikiran abstrak. Mengkaitkan generalisasi dan ujud-ujud abstrak ini dengan me-tode deduksi berarti membangun sebuah sistem matematika.

 

Bagaimana caranya seorang ilmuwan bisa mengetahui sesuatu? Dan bagaimana caranya semua ilmuwan bisa mencapai pengetahuan yang sama? Jawabnya adalah lewat pengalaman indera dan serangkaian penalaran. Dalam matematika kita mengetahui sesuatu lewat satu mata ran-tai penalaran. Pemikiran ini dikomunikasikan satu per satu sampai mata rantai terakhir yang terletak dalam pengalaman manusia secara langsung. Kita tidak selamanya harus sampai kepada mata rantai terakhir ini, sebab kadang-kadang telah terdapat pernyataan-pernyataan yang kebenarannya telah teruji. Ilmu adalah usaha untuk menyusun lambang dan sistematika dari abstraksi yang dituangkan dari pengalaman. Dalam matematika dan fisika, hanya dengan mempergunakan beberapa lambang saja, sejumlah besar pengetahuan dapat dikomunikasikan secara tepat dan sejumlah pengetahuan baru dapat diramalkan. Berdasarkan karakteristik dari bidang-bidang keilmuan maka dapat diterapkan struktur yang berbeda-beda.

Sebagai pelayan, matematika kadang-kadang disebut sebagai mate- matika terapan. Dalam hal ini, matematika dapat memilih kaidah-kaidah yang dimilikinya dan mempergunakan kumpulan tersebut untuk mem-bangun sebuah model dari gejala keilmuan  yang sedang kita amati.  Umpamakan sebuah bom dijatuhkan dari sebuah ketinggian di atas bumi. Ahli fisika kemudian mempelajari jatuhnya bom ini dalam berbagai kondisi yang berbeda. Komunikasi pertama adalah bahwa "bom itu memperoleh kecepatan selama dia jatuh". Laporan ini tentu saja sangat tidak eksak sebab si pendengar akan mempunyai berbagai-bagai pendapat tentang bagaimana cepatnya bom itu jatuh.

Untuk suatu deskripsi yang lebih baik maka ahli fisika lalu membuat alat pengukuran yang mencatat waktu dan posisi dari bom tersebut. Berdasar- kau pengukuran itu dia menempatkan hasilnya dalam sebuah tabel sebagai berikut:

Jatuhnya sebuah Bom

Waktu jatuh dalam detik                     0            1          2            3          4        5

Jarak yang ditempuh dalam kaki        0          16        64        144      256       400

 

Ini merupakan deskripsi yang lebih baik tentang jatuhnya bom di- bandingkan deskripsi terdahulu, namun jelas bahwa bentuk tabel seperti inr kurang sesuai untuk pengkajian lebih lanjut. Di sini peranan ahli matematika mulai muncul. Dia meletakkan waktu sebagai titik-titik pada arah positif dari sumbu bilangan nyata.

Dia meletakkan jarak, yang diukur dalam meter, dalam sumbu bilangan nyata yang lainnya.

Setelah itu dia membuat fungsi yang menghubungkan waktu dan jarak tersebut. Untuk tiap waktu tertentu akan terdapat jarak yang tertentu pula, se- perti tercantum dalam tabel di atas. Kedua fakta yang bersangkutan itu disatukan dan dia mendapatkan pasangan angka sebagai berikut:

(0,0);      (1,16);       (2,64);       (3,144);       (4,256);       (5,400)

Rangkaian pasangan angka-angka ini merupakan fungsi.

Kemudian ahli matematika itu memilih sebuah rumus yang disebutnya hubungan fungsional. Sebenarnya dia bisa memilih rumus-rumus yang lain namun katakanlah bahwa dia memilih rumus s = 16 t2, (s adalah jarak dan t adalah waktu), yang melukiskan kejadian itu. Ahli matematika tidak berhend di sini namun melangkah lebih jauh daripada ahli fisika. Dia menganggap

bahwa hubungan fungsional ini berlaku untuk tiap harga s dan t dan tidak hanya terbatas pada apa yang telah diukur oleh ahli fisika tersebut. Ahli matematika akan mengatakan bahwa berdasarkan rumus itu maka jika t adalah 2,5 detik maka s adalah 100 kaki. Pernyataan ini di-periksa oleh ahli fisika dan ternyata benar, dan untuk selanjutnya ahli fisika meninggalkan bahasa verbal dan menggantinya dengan hubungan fungsi simbolis.

Dia melakukan hal ini berdasarkan isomorfisme antara gejala fisik dan sistem matematika. Sebuah isomorfisme adalah hubungan satu-satu antara unsur dan operasi suatu sistem di satu pihak, dengan unsur dan opera-si sistem lainnya di lain pihak. Tabel di bawah ini menunjukkan isomorfisme tersebut:

Fisika                                                                Matematika

 

Waktu                                                                suatu variabel nyata, t*

Jarak                                                                 variabel          nyata         yang kedua, s

Perubahan dalam jarak dengan waktu             hubungan fungsi, s = 16t2 
Kecepatan jatuh                                               turunan  dari  fungsi,             v  = 32t

 

a = 32

Percepatan                                                           turunan kedua dari fungsi,

 

dan seterusnya                                                dan seterusnya

 

* Sebuah variabel nyata atau riil adalah lambang yang dapat digantikan oleh bilangan nyata tertentu, umpamanya  2, 1/2, R,VT dan sebagainya.

 

Jadi dalam matematika terdapat sistem tertentu yang dapat diperguna- kan sebagai model dari struktur fisik yang sedang diselidiki. Dengan demikian maka sistem matematika menjadi alat komunikasi dari hukum-hukum fisika.

Berdasarkan pengukuran yang lebih teliti dengan memperhitungkan struktur permukaan dan viskositas udara yang menyebabkan berkurang-nya percepatan, dan setelah menyelidiki jatuhnya benda dalam berbagai media seperti air atau gula cair, maka seorang ahli fisika akan mencari hukum yang lebih bersifat umum untuk semua benda yang jatuh. Di sini tampil kembali ahli matematika kita yang dengan mempergunakan per-samaan diferensial akan sampai kepada sebuah hubungan fungsional yang lebih rumit yang melibatkan logaritma dan hiperbola dengan rumus seperti berikut:

di mana v, u, dan g adalah konstanta yang dapat ditentukan untuk tiap situasi tertentu.

Sebagai raja, matematika adalah bentuk dari cara berpikir deduktif yang memperlakukan obyek pemikiran yang abstrak. Matematika merupakan bentuk komunikasi yang hampir mendekati kesempurnaan dari segenap bentuk komunikasi yang ada. Matematika umpamanya mempunyai sistem bilangan dengan unsur-unsur 1, 2, 3, dan sebagainya. Lambang-lambang ini dihubungkan oleh hukum-hukum dasar dan langkah-langkah tertentu. Semua ini didasarkan pada beberapa anggapan, definisi dan penjabaran-penjabaran secara logis. Sebuah lambang mendapatkan arti lewat hubungan yang dibentuk oleh hukum-hukum dasar tersebut. Hubungan ini kemudian diperluas lewat pernyataan sebab akibat dalam bentuk:
Jika ini . . ., maka itu . . .; dan jika p menyebabkan q, dan q menyebabkan r, maka p menyebabkan r.
 

Contoh yang sederhana dari bentuk komunikasi ini terlihat dalam tiap teorema ilmu ukur bidang. Umpamanya, jumlah sudut dari sebuah segitiga adalah 180 derajat dan hal ini dinyatakan sebagai berikut: Jika terdapat bentuk yang berupa segitiga maka jumlah sudut-sudutnya adalah 180 derajat. Apa yang dimaksudkan dengan sudut, segitiga, derajat dan 180 adalah tak lebih dari pengertian yang tercakup oleh penggunaan logis dari kata-kata tersebut. (Sebenarnya, tak seorang pun yang pernah melihat garis lurus, sudut, segitiga, garis tegak lurus, atau garis sejajar. Semua ini adalah abstraksi yang tak dapat terindera secara fisik). Teorema seperti ini tak-kan dapat disusun dengan jalan pengukuran bahkan dengan pengukuran sejuta segitiga sekali pun.

Tetapi dengan jalan mengatakan bahwa :

(1) Hanya terdapat satu garis yang melalui titik puncak A dan sejajar dengan alas segitiga;
(2) Ketiga sudut yang terbentuk garis ini dengan titik A adalah sama dengan sudur-sudut segitiga lainnya; (Lihat gambar)
(3) Tiga buah sudut-pada titik A membentuk sudut sebesar seratus delapan puluh derajat; jadi
(4) jumlah sudut-sudut dalam sebuah segitiga adalah seratus delapan puluh derajat. Kesimpulan ini merupakan serangkaian pernyataan yang dapat diuji kebenarannya dan membuktikan sebuah teorema. Semua ini menunjukkan hakekat matematika sebagai suatu ilmu deduktif.